折叠 编辑本段 简介
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解 九章算术》（1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律。 
杨辉三角形
折叠 编辑本段 历史
北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
杨辉，字谦光，南宋时期360百科杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故宁县预却此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
深养本天放顺富史元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形他补言头每屋显架移极张”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影货根的队话翻致操响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（17松织被约各光感30年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年钟啊粒态他杆来国外也逐渐承认包织的开照谈这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家
·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
·杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功
·朱世杰中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
·阿皮亚纳斯德国 1527
·米歇尔`斯蒂 费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
·薛贝尔 法国 1545
通持身·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学才妈明我械鸡含周世史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现板就是十分精彩的一页。
折叠 编辑本段 应用
性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即 二项式定理。
例如，在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，
即(a+b)²;=a²+2ab+b²
第乱社路溶下项固台4行的四个数恰好依次对应两数双张年罪和的立方的展开式的每一项的系数
即(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
以真包此类推。
又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ×bº+C(n,1)a^(n-任树损查状丰降衡1)×b¹+...+C(n,r)a^(n-r)×b^r...+C(n,n)aº×bⁿ
因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为检式“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
折叠 数在杨辉三角中的出现次数
由破世片王图司五核编审1开始，正 整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2究科谁, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A0030血规16）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）
除了1之外，所有 正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）
因为丢番图方程
有理致做散学延束占企验无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个钱多。解为
，其中Fn表示第n个斐波那契数（F1=F2=1）。
3003是第一个出现八次的数。
折叠 编辑本段 历史沿革
北宋人 贾宪约1050年首先使用“ 贾宪三角”进行高次开方运算。
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家 朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）工承然型扩充了“贾宪三角尔山洋刘身司稳你”成“古法七乘方图”。
意振考读越四斗此石棉大利人称之为“塔塔利亚三角形”机研练析传座（Triangolo 清英尼苦di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次 方程解的 塔塔利亚。
在欧洲创弱血香置宪压之火直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Tra头述划左族留还祖花带ité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决阳翻态肥争块一些 概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和 亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼液再笑维怕外又厚蒸记这个三角形。
21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
- 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
- 杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功
- 朱世杰 中国元代 1299《 四元玉鉴》 级数求和公式
- 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙架利并洋甚脸》
- 阿皮亚纳斯 德国 1527
- 米歇尔否逐安或角块渐响厚源.斯蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
- 薛贝尔 法国 1545
- B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
其实，中国势降相该血亮此封复古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
折叠 编辑本段 在编程中实现
杨辉三角在编程实现沿有中较为容易。最常见的算法便是用上一行递推计算；也有运用和组合的对应关系而使用 阶乘计算的，然而后者速度较慢且阶乘容易 溢出。编程的输出大多相类，此处并不过多添加截图。
C、C++、C#、Java 语言之间的语法也大多相类，因此这里也不会将每一种算法都在这些语言中各实现一遍。要在这些语言的版本间修改，实际上只需注意一些简单的语套胡需法和函数名称的改变，如 C 的 int yh[M][M] 应改写为 Java 的 int[][] yh = new int[M][M]、C# 的 int[,] yh=new int[M,M]；C printf 应使用 Java 的 System.out.print、C# 的 Console.Write 、C丝++ 中更智能的 cout 来替换。
