在连续介质力学框架上建立起来的损伤力学中,损伤变量的概念包含在材料的本构关系内^[1]. 损伤变量随着应力或应变的变化,被称为损伤的演化规律. 目前,混凝土的研究已广泛应用于损伤理论^[2-7] . 其中,损伤理论包含能量损伤理论^[8-12]和几何损伤理论^[13-16].能量损伤理论的基础力学包括连续介质力学和热力学两方面,损伤过程被认为是能量不可逆的转换过程,损伤的本构方程和损伤的演变方程均通过耗散势能和自由能推导而来^[17-18]. 基于能量的角度,损伤是一个不可逆的耗散过程^[19-20]. 而建立损伤变量和消耗能量间的某种关系,作为提供解决混凝土受压损伤仿真分析的方法是有效合理的.

基于能量损失的角度,研究混凝土的损伤情况. 在Najar损伤理论^[21] 中,脆性固体材料的损伤D可定义为

D=ΔW_ε/W_o(1)

其中, W_o为应变能密度(无损材料),且

W_o=ε':E_o':ε'(2)

其中, E_o'为弹性系数的四阶张量(无损材料); ε'为相对应的应变二阶张量; ΔW_ε为应变能密度(无损材料)W_o与应变能密度(有损材料)W_ε之差,

ΔW_ε=W_o-W_ε(3)

而

W_ε=ε':E:ε'(4)

其中, E为损伤材料弹性系数的四阶张量.

热力学过程即为混凝土受压力学的全过程,而能量的耗散过程或者不可逆的热力学过程即为其损伤的实质. 混凝土的受力状态如 [21]
Fig.1 The force of the concrete^[21]">图1^[21] 所示. 其中,在应变逐渐到达ε的阶段,外力所做的功会转变为3种能量,包括弹性阶段的应变能量、塑性阶段的耗散能以及有关损伤的扩展能量. 在Najar损伤理论中,混凝土假定是无损伤的理想状态,直线OA代表了其应力-应变的关系,即σ=E_oε, 其中σ为应力值,那么外力在混凝土无损伤状态下所作的功为

ω_perf=E_oε²/2(5)

其中, E_o为混凝土初始弹性模量; ε为混凝土压应变.

Fig.1 The force of the concrete[21]">

[21]
Fig.1 The force of the concrete^[21]">图1 混凝土受力状态[21]
Fig.1 The force of the concrete[21]

实际上,混凝土是处于有损伤的状态,图中OC段为应力和应变的关系曲线,那么在应变为ε时外力功ω_PE为

ω_PE=σε/2(6)

损伤变量d_c在Najar损伤理论中为

d_c=(ω_perf-ω_PE)/(ω_perf)=(E_o ε²/2-σε/2)/(E_oε²/2)=

1-σ/(E_oε)(7)

对混凝土这种损伤材料,它的应力下降现象在式(7)中得到了很好的诠释. 损伤变量方程是基于不可逆的能量耗散原理,无论是宏观上的力学性能还是微观上裂缝发展的整个下降过程,均得到了详细的诠释和表现,并且在混凝土结构的损伤研究中巧妙地绕开了研究混凝土的细微裂纹问题,大大简化了损伤研究的过程. 式(7)中,当结构处于理想状态时(无损伤), ω_perf=ω_PE, d_c=0; 而对损伤的结构, 0≤ω_PE≤ω_perf, 且在极限状态下,即 ω_perf>> ω_PE, d_c→1, d_c值在0～1之间.

实际上,直接应用Najar损伤理论使得混凝土的损伤程度得以量化是非常困难的,因为此时混凝土的损伤状态是基于宏观上的能量耗散. 因此,基于Najar损伤理论,本研究提出了一种新的混凝土单轴受压的损伤本构,从而更全面准确地诠释了《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)^[22]附录中混凝土单轴受压本构的损伤演变过程. 在该标准附录中混凝土单轴受压本构的基础上,本研究建立了损伤变量的表达式.

当处于无损伤状态时, σ=E_oε, f^* _c=E_o ε_o,即

(E_oε)(E_oε_o )=σf^*_c(8)

其中, ε_o为混凝土的峰值压应变(标准抗压强度时); f^*_c为混凝土轴心抗压强度标准值.

基于等价应变原理,可推出损伤材料的本构关系为

σ=E(1-D)ε(9)

而假定损伤状态下,

(E_oε)(E_oε_o)=σf^*_cα_a(10)

所以

y/x=(σ/(E_oε))²α_a(11)

其中, y=σ/(f^*_c), x=ε/(ε_o ).

Najar损伤理论中

d_c=1-σ/(E_oε)

那么

y/x=(1-d_c)²α_a(12)

因此

(1-d_c)²=y/(xα_a )

当0≤ε≤ε_o时,

y/x=α_a +(3-2α_a )x+(α_a -2)x²(13)

因此

d_c=1-((α_a +(3-2α_a )x+(α_a -2)x²)/(α_a ))^1/2

当ε_o≤ε≤ε_cu时,

y/x=1/(α_d(x-1)²+x)

那么

d_c=1-{1/(α_a[α_d(x-1)²+x])}¹/2

其中, α_a和α_d均为混凝土材料损伤的修正系数, α_a=2.4-0.012 5f^*_c, α_d=0.157f^*0.785_c-0.905; f^*_c=0.7R, R为混凝土的立方体抗压强度标准值; ε_o=(700+172(f^*_c)^1/2)×10^-6. 受压损伤因子为

d_c={Z1-((α_a+(3-2α_a )x+(α_a -2)x²)/(α_a))^1/2,

x≤1

1-(1/(α_a [α_d(x-1)²+x]))^1/2, x>1(14)

式(14)为混凝土的损伤变量方程.

在此基础上推导出混凝土损伤演化方程为

d ^·_c={Z1/2[(α_a +(3-2α_a )x+(α_a -2)x²)/(α_a)]^-3/2[((3-2α_a ))/(α_a)+(2(α_a -2)x²)/(α_a)]x ^·, x≤1

1/2{α_a [α_d(x-1)²+x]}^-3/2{α_a[2α_d(x-1)+1]} x ^·, x>1(15)

伤本构关系曲线

3种不同强度等级的混凝土本构关系模型参数见 [23]
Table 1 Parameter values of stress-strain curves of concrete under uniaxial compression^[23]">表1^[23]. 3种不同强度等级的混凝土单轴受压损伤变量方程见 Table 2 Damage variable equations of concrete with different strength under uniaxial compression ">表2.在 Table 2 Damage variable equations of concrete with different strength under uniaxial compression ">表2建立的混凝土损伤变量方程基础上,对比了3种不同强度等级混凝土的受压损伤变量和应变的关系,如 Fig.2 Damage-strain curves of concrete under different strengths">图2. 从 Fig.2 Damage-strain curves of concrete under different strengths">图2可见,在弹性阶段,混凝土无损伤; 随着应变值进一步增大,混凝土进入塑性阶段,当损伤变量值陡然增大,曲线出现了第1个转折点; 随着应变值继续增大,而损伤变量值缓慢增长,当曲线出现了第2个拐点时,损伤变量值基本保持不变, d_c= 0.7. 此时,混凝土发生受压破坏,应变达到峰值压应变. 对比强度等级不同的混凝土,损伤变量值随着强度等级越低而越大,损伤越严重. 本研究混凝土单轴受压损伤本构模型与文献[24]中典型的混凝土损伤演变图基本一致.

Table 1 Parameter values of stress-strain curves of concrete under uniaxial compression[23]">

[23]
Table 1 Parameter values of stress-strain curves of concrete under uniaxial compression^[23]">表1 混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数值[23]
Table 1 Parameter values of stress-strain curves of concrete under uniaxial compression[23]

Table 2 Damage variable equations of concrete with different strength under uniaxial compression ">

表2 不同强度混凝土单向受压的损伤变量方程
Table 2 Damage variable equations of concrete with different strength under uniaxial compression

Fig.2 Damage-strain curves of concrete under different strengths">

图2 不同强度混凝土损伤-应变曲线
Fig.2 Damage-strain curves of concrete under different strengths

在有限元软件ABAQUS中建立一个简化的矩形筒体剪力墙,其中没有洞口的墙体截面为8 000 mm×300 mm,设有洞口的墙体截面为3 000 mm×300 mm,洞口尺寸为900 mm×300 mm. 层高3 m,共10层的全对称结构. 剪力墙的配筋率为0.5%,底部固结. 钢筋的单轴受拉本构采用应力强化模型,且强化阶段的弹性模量E_s'=0.01E_s, E_s为上升阶段的弹性模量.

采用混凝土C35,考虑主要研究混凝土的受压破坏,简化其受拉应力应变关系, f_t=f_ck/10, 且不考虑混凝土的受拉损伤. 采用本研究混凝土单轴受压塑性损伤模型,如 Fig.3 The relationship curve between compression damage variable and plastic strain(C35)">图3.

Fig.3 The relationship curve between compression damage variable and plastic strain(C35)">

图3 受压损伤变量-塑性应变曲线(C35)
Fig.3 The relationship curve between compression damage variable and plastic strain(C35)

首先在自重作用下的弹性范围内,分别查看结构底部截面应力、竖向位移及竖向反力,验证模型合理有效. 选取结构底部开洞墙体上的1个截面,该截面上节点1～7的应力值分别为0.760、0.717、0.675、0.674、0.674、0.716和0.759 N/mm². 该截面的应力分布如 Fig.4 Stress distribution of bottom cross-section">图4.

Fig.4 Stress distribution of bottom cross-section">

图4 底部截面应力分布图
Fig.4 Stress distribution of bottom cross-section

由 Fig.4 Stress distribution of bottom cross-section">图4可知,应力集中发生在端部截面,随着应力不断向中间截面扩散,应力在中间位置逐渐达到均匀分布,且对称节点的应力基本相同,每层截面应力值基本相当.

该截面7个节点的竖向反力值分别为62.7、110.5、106.4、104.6、106.2、110.0和62.6 kN( Fig.5 Reaction force distribution">图5),底部节点产生轴向反力,且应力集中发生在角部位置,此处竖向反力较小,中间截面竖向反力较大,截面对称的节点反力基本相同.

Fig.5 Reaction force distribution">

图5 反力分布图
Fig.5 Reaction force distribution

该截面7个节点的竖向位移值均为0.34 mm,表明有限元数值模拟与理论相符,从而验证了模型合理可用.

应用该模型,进行弹塑性研究分析. 选取不同的组合,在模型上同时施加水平荷载和竖向荷载,即在保证轴力持续不变的情况下输入水平荷载.

在偏压构件处于正截面承载力极限状态时,其轴向的压力和弯矩是相互关联的. 利用Matlab软件按照下面的步骤编写N_u-M_u曲线的程序,以求得偏压作用下结构的极限承载力N_u-M_u理论的骨架曲线:

1)选取混凝土受压边缘的压应变为ε_cu;

2)选取受拉一侧的边缘应变;

3)基于混凝土单轴拉压本构模型、钢筋的单轴拉压本构模型以及截面的应变分布,得到混凝土的应力及拉压钢筋的应力;

4)压力N_u和弯矩M_u均根据平衡条件计得;

5)另外选取受拉一侧边缘应变,如 Fig.6 Computing model">图6所示,然后重复步骤3)和步骤4).

Fig.6 Computing model">

图6 计算简图
Fig.6 Computing model

在实际情况中,当施加竖向荷载时,构件处于全截面受压状态,由于应力集中等原因,左右两端部截面出现假的损伤情况,所以我们不考虑端部截面的假损伤,只研究中部截面. 研究表明,此种情况下整个截面的受压损伤变量值均达到损伤的临界值,整个截面全部发生破坏. 当将水平荷载与竖向荷载同时施加于模型的时候,首先进入损伤状态的为右端截面,随着荷载的不断加大,损伤扩展,左端截面开始逐渐损伤. 研究偏压作用下所有组合的情况,损伤临界值均首先出现在截面的受压边缘.

假定当占整个截面7%的受压截面均达到损伤临界值时,结构定义为破坏,此时为极限承载状态,求得内力SF_i. 处理求得的内力SF_i数据,得到N_u-M_u组合,其中

N_u=∑¹⁶_i=2SF_i,

假设受压为正方向,SF_i对中间点取矩得到

M_u= SF₂×a₂+ SF₃×a₃+ SF₄×a₄+ SF₅×a₅+

SF₆×a₆+ SF₇×a₇+ SF₈×a₈+ SF₉×a₉+

SF₁₀×a₁₀+ SF₁₁×a₁₁+ SF₁₂×a₁₂+ SF₁₃×

a₁₃+ SF₁₄×a₁₄+ SF₁₅×a₁₅+ SF₁₆×a₁₆(16)

其中, a₂=3.5, a₃=3.0,a₄=2.5, a₅=2.0,a₆=1.5, a₇=1.0,a₈=0.5, a₉=0,a₁₀=0.5, a₁₁=1.0, a₁₂=1.5, a₁₃=2.0,a₁₄=2.5, a₁₅=3.0, a₁₆=3.5.

应用式(16),可求得实际偏压情况下结构轴力N_u和弯矩M_u的组合值. 再应用已有的绘制N_u-M_u骨架曲线的程序,可求得极限承载力理论骨架曲线. 对比研究分析求得轴力N_u和弯矩M_u的组合值与理论骨架曲线,如 u-M_u拟合对比
Fig.7 Simulation and comparison of N_u-M_u">图7所示. 从 u-M_u拟合对比
Fig.7 Simulation and comparison of N_u-M_u">图7可知,结构在偏心受压作用下发生破坏的所有情况均包含在该极限承载力骨架曲线中,其中混凝土受拉破坏为轴力为负值阶段. 我们只研究实际情况的受压破坏,包含大偏压和小偏压:

1)当弯矩为0时,轴力达到极限值;

2)当轴力为0时,弯矩没有达到极限值,弯矩是在发生界限破坏达到极限值;

3)在小偏压阶段,轴力随着弯矩的增大而减小; 在大偏压阶段,轴力随着弯矩的增大而增大.

结构破坏均在此损伤程度下,且内力组合值与理论值曲线吻合较好,说明全截面的宏观破坏假定是合理的.

Fig.7 Simulation and comparison of Nu-Mu">

u-M_u拟合对比
Fig.7 Simulation and comparison of N_u-M_u">图7 Nu-Mu拟合对比
Fig.7 Simulation and comparison of Nu-Mu

研究表明,无论混凝土强度等级为多少,当构件的7%的截面受压损伤值近于或超出受压损伤临界值,构件达到极限状态,发生破坏.

有别于以往的研究中判断结构是否破坏主要靠材料的微观性能,本研究基于理论的骨架曲线,在损伤和破坏之间建立了一种宏观的联系——当构件7%的截面受压损伤值接近或超出受压损伤临界值,构件达到极限状态,发生破坏.

基于Najar损伤理论,提出了一种新的混凝土单轴受压损伤本构模型,并在此基础上得出了混凝土单轴受压损伤的演化方程,绘制了典型强度等级的混凝土单轴受压损伤本构曲线. 建立了一个真实简单的剪力墙模型,并应用此混凝土单轴受压损伤本构模型,对比研究分析了模型的极限承载力骨架曲线. 此本构模型清晰全面地诠释了《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)中混凝土的单轴受压本构关系,提供了混凝土单轴受压损伤应用的理论基础. 利用该数学模型,揭示了混凝土单轴受压损伤的本质及变化规律,提供了数据和参考给混凝土结构的损伤机理. 该本构模型具有参数少、公式简单、方法实用以及精度较高等优点,揭示了实际情况中材料的损伤程度和结构破坏的宏观关系.