课程解读
一、学习目标：
1、熟练掌握幂的运算和对数的运算。
2、进一步理解指数函数、对数函数和幂函数的概念和意义，能画出草图并能熟练应用其性质。
3、在解决简单实际问题的过程中，能理解指数函数、对数函数和幂函数是三种不同的函数模型。
二、重点、难点：
重点是熟练掌握幂的运算和对数的运算，指数函数、对数函数和幂函数的概念并能熟练应用其性质。
难点是指数函数、对数函数和幂函数性质的熟练应用，尤其是对分类讨论思想的理解。
三、考点分析：
1、掌握幂的运算，理解对数的概念及其运算性质。
2、 理解指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象及其性质。
3、指数函数、对数函数和幂函数作为高中学习阶段三种重要的函数模型，一直是考试的重点和热点。
知识梳理
典型例题
知识点一：指数函数
例1：如图是指数函数
的图象，则
与1的大小关系是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
思路分析：解本题的关键在于令x＝1，这样一来，比较与1的大小关系就变成了比较四个函数的函数值与1的大小关系了。
解答过程：在同一坐标系中作出四个指数函数的图象，并作出直线
的图象，且它与指数函数图象有交点，则交点纵坐标就分别是
，从图中可以看到它们由上至下依次变小，故正确选项为B。
解题后的思考：指数函数
的图象恒过
点，作出直线与
交点的纵坐标，即为对应的指数函数的底数，靠上的点对应的数值大，则底数较大。
例2：当
时，
的值总大于1，则实数
的取值范围为（ ）
A. 
B.
C.
D.
思路分析：将
看作一个整体，借助指数函数的图象与性质来解决。
解答过程：作出两条指数函数图象，如图所示。
当时，的值总大于1，
作直线与
，
的交点，则其在
轴上的投影的对应值为
，由图象可看出
，
于是
，解得，故选D。
解题后的思考：“整体法”是代数的基本方法之一，要熟练掌握。
知识点二：对数及对数函数
例3：已知
＝，54b＝3，用
的值
思路分析：先根据对数的定义求出b，再利用换底公式将
表示成以54为底的对数。
解答过程：由
＝3得
＝b
∴＝
＝
解题后的思考：先将指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果是解决这类问题的常用方法。
例4：已知函数
，讨论
的奇偶性。
思路分析：计算
，由
，据此判定的奇偶性。
解答过程：由
解得函数的定义域为
，
且
。
即
，所以函数是奇函数。
解题后的思考：若
，则为奇函数；若
则为偶函数。
例5：求函数
的单调区间。
思路分析：先求出的定义域，再利用复合函数的单调性的判定法则求解。
解答过程：由
或
，得函数
的定义域为
。
设
，则
，
在
上单调递减，
又由
在
上单调递减，在
上单调递增。
在
上单调递增，在
上单调递减。
解题后的思考：对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一，先考虑定义域；第二，再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同增异减）。
例6：已知函数
（1）定义域是R，求m的取值范围；
（2）值域是R，求m的取值范围。
思路分析：在已知对数函数的定义域是R与值域是R，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的。
解答过程：（1）因为函数的定义域是R，故而对任意
有
恒成立。
1）m＝0时，有 
不恒成立，与题意矛盾。故舍之；
2）
时，由二次函数的性质可得：
综上，
（2）因为函数的值域是R，
故而有
解题后的思考：解本题的关键在于通过对图象的分析，理解到对数的值域为R，则定义域必须从零开始。
知识点三：幂函数、指数函数和对数函数的综合
例7：已知函数
的图象沿
轴方向向左平移1个单位后与
的图象关于直线
对称，且
，则函数
的值域为
。
思路分析：先求出函数关于直线对称的函数，再向右平移回去，得到的解析式，进而求出，最后求值域。
解答过程：函数
关于直线对称的函数为
。
向右平移1个单位得到
，
。
∴
。
∴
。
∵
。
解题后的思考：底数相同的指数函数与对数函数关于对称，它们之间还有一个关系式：
例8：已知函数
，
。
（1）证明：是奇函数，并求的单调区间；
（2）分别计算
和
的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明。
思路分析：对第（1）问，应先求定义域，如果有多个区间，其单调性要分别讨论。第（2）问是一道归纳题，要经历观察，归纳，猜想和证明的全过程。
解答过程：（1）证明：∵函数的定义域
关于原点对称，
又
，
∴是奇函数。
设
，且
、
，则
。
∵
，
，∴
，
∴在
上单调递增。
又∵是奇函数，∴在
上也是单调递增。
故的单调区间为和。
（2）解：计算得
，
。
由此概括出对所有不等于零的实数有
。
∵
＝0，
∴。
解题后的思考：奇函数在其关于定义域对称的两个区间内单调性一致；偶函数在其关于定义域对称的两个区间内单调性相反；类似这样的性质平时要注意积累，对解题会有很大的帮助。
提分技巧
对于指数函数和对数函数要认真分析它们各自的图象与性质的差异，做到数与形的紧密结合。看见函数式，要立刻联想到它的图象；反之，见到图象，也要能确定函数式的底数的范围。
预习导学
一、预习新知
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象有什么关系？
2、怎样求
的近似解。
二、预习点拨
函数零点的定义是
。
函数零点与方程根的关系是
。
函数零点存在的条件是
。
二分法的定义是
。
用二分法求函数零点的一般步骤是
。
同步练习
（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 函数
的定义域是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 设函数y＝lg（x2－5x）的定义域为M，函数y＝lg（x－5）＋lgx的定义域为N，则（ ）
A. M∪N＝R sB.
M＝N C. M
N D. M
N
3. 函数
，满足 （ ）
A. 是奇函数又是减函数
B. 是偶函数又是增函数
C. 是奇函数又是增函数
D.
是偶函数又是减函数
4. 当
时，函数
和
的图象只可能是 （ ）
5. 函数
的单调递减区间是 （ ）
A. 
B. 
C.
D. 
6. 北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据：1.14＝1.46，1.15＝1.61） （ ）
A. 10% B. 16.4% C. 16.8% D. 20%
7. 函数
的值域是 （ ）
A. 
B.
C.
D. R
8. 已知
，则下列说法正确的是 （ ）
A. 奇函数，在R上为增函数 B. 偶函数，在R上为增函数
C. 奇函数，在R上为减函数 D. 偶函数，在R上为减函数
二、填空题：
9. 幂函数f（x）的图象过点
，则f（x）的解析式是 。
10. 计算
＝
。
11. 将函数
的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y＝x对称的图象C3，则C3的解析式为
。
12. 三个变量
随x的变化情况（见下表）
|
x |
1.00 |
3.00 |
5.00 |
7.00 |
9.00 |
11.00 |
|
y1 |
5 |
135 |
625 |
1715 |
3645 |
6655 |
|
y2 |
5 |
29 |
245 |
2189 |
19685 |
177149 |
|
y3 |
5.00 |
6.10 |
6.61 |
6.95 |
7.20 |
7.40 |
其中变量的变化模型为
（只说明函数类型，不必写出解析式）。
三、解答题：
13. 求函数
的单调区间。
14. （1）已知
是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数
的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程
无解？有一解？有两解？
15. 已知函数
（a＞1）。
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数。
试题答案
一、1. D 2. C 3. C 4. A 5. A
6. B 7. A 8. A
二、9. 
10. 
11. 
12. y1呈幂函数型，y2呈指数函数型，y3呈对数函数型
三、13. 解：由
得
，
令u＝
，因为u＝
上单调递减，在
上单调递增，又
为减函数，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
。
14. 解：（1）常数m＝1
（2）如图所示：当k＜0时，直线y＝k与函数
的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k
1时，直线y＝k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数的图象有两个不同的交点，所以方程有两解。
15.（1）解：f（x）是奇函数。（2）解：的值域为（－1，1）。
（3）证明：设
，
则
＝
∵a＞1，x1＜x2，∴a
＜a
。又∵a＋1＞0，a＋1＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。
∴函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数。