一、共线向量基本定理

1.如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。
2.充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。
3.必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。
4.唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

 
二、三点共线定理
若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

1证明过程

AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+(λ-1)OA=μ(OB-OA).
而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。

向量共线什么意思

两个向量共线就是两个向量平行。简言之，共线向量就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

2向量共线证明

要证明两个向量共线，只须证明它们之间有一个倍数关系即可。
例：已知e1、e2是不共线的单位向量，向量a=e1+2e2，b=-2e1+e2，c=4e1+3e2，求证明：a与b+c共线。
证明：∵b+c=(-2e1+e2)+(4e1+3e2)=2e1+4e2=2(e1+2e2)=2a ∴a与b+c共线。
1、共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， 平行于 ，记作 。
注：当我们说向量 、 共线（或 // ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
3、共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ≠ ）， ∥ ，存在实数λ，使 =λ 。
4、共线向量的坐标表示：若 ， ，则 。
共线向量定理：
空间任意两个向量 、 （ ≠ ）， ∥ ，存在实数λ，使 =λ 。
推论：
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线。那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式    
其中向量 叫做直线l的方向向量。
如图：
式都叫做空间直线的向量参数表示式， 式是线段ＡＢ的中点公式。