一、函数解析式的常用求解方法

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得 ，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

 
二、函数解析式的求解九种方式：
1.代入法：
已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.
[例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].
2. 换元法
已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。
[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).
3.配凑法
已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。若能将h(x)用g(x)表示, 然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。
[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).
4.待定系数法
根据已知函数的类型或者特征,求函数解析式。先设出函数的一般形式,再利两个多项式恒等的充要条件联立解方程组,求出相关字母的值,即可得出所求函数的解析式。
[例4]已知f(x)=3x－1, f[h(x)]= g(x)=2x+3,h(x)为x的一次函数，求h(x).
5. 解方程组法
若f(x)满足某个等式,求函数f(x)的解析式。先将f(x)看作一个未知数,再构造方程,列出有关方程组,消去另外的未知数便得f(x)的解析式。
[例5] 已知f(x)－2f（ ）=x+1. 求函数f(x)的解析式.
6.赋值法
对于某些抽象函数,通过在函数定义域内,赋予变量一些特殊值,利用函数关系式进行化简,从而求出函数解析式。
[例6] 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x－y)= f(x)－y(2x－y+1). 求f(x)的解析式.
7.函数性质法
已知f(x)在某一区间上的表达式,求在其他区间上的表达式,常利用函数的某些性质（奇偶性,周期性,对称性等）实施区间转换,再利用已知区间上的表达式求解。但要注意利用代换思想是解决图象上的点满足有关条件或对称问题,从而求函数解析式的常用方法。
[例7]设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞]时,f(x)=x(1+x ),求f(x)的解析式.
8.递推归纳法
若f(x)是定义在正整数集上的函数,则可根据已知递推关系式,通过递推的方法求解析式.
[例8] 已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)= f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1. 若x∈N ,试求f(x)的解析式.
9.导数法
根据导数的几何意义:函数y= f(x)在x 处的导数f1(x)就是曲线y= f(x)在点(x ,f(x ))处切线的斜率.再结合题目的已知条件进行求解.
[例10] 已知函数f(x)=ax +bx +cx +dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,－1)且在x=1处的切线方程为2x+y－2=0. 求函数f(x)的表达式.