第02讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式（解析版）练习题

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

 [A级　基础练]

1．已知，那么（    ）

A．     B．       C．      D．

【答案】C

【解析】，选C.

2．已知为第二象限角，则的值为（   ）

A．       B．       C．        D．

【答案】B

【解析】，是第二象限角，

， ，故选B．

3．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝(　　)

A．   B．－

C．－   D．－1

解析：选B.由sin＋3cos(α－π)＝1，

得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－，

因为角α是第二象限角，所以sin α＝，

所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.

4．已知f(α)＝，则f＝(　　)

A．   B．

C．   D．－

解析：选A.f(α)＝＝＝＝cos α，则f＝cos＝.

5．（多选）已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】因为①，所以，即，

因为，所以，，所以，

所以，所以②，

①加②得，①减②得，所以．

综上可得，正确的有ABD，故选ABD．

6．计算：sin ＋cos 的值为________．

解析：原式＝sin＋cos＝－sin －cos ＝－－＝－1.

答案：－1

7．若实数满足，则        ；的值为________．

【答案】；

【解析】由，得，所以；

．

8．化简＝________．

解析：原式＝

＝＝

＝＝1.

答案：1

9．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：

(1)；(2)sin2α＋sin 2α.

解：由已知得sin α＝2cos α.

(1)原式＝＝－.

(2)原式＝＝＝.

10．已知，.

（1）求的值；

（2）求的值．

解：（1） ，，.

又，.．

（2）由（1）知，.

[B级　综合练]

11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子化简的结果为－cos θ，则(　　)

A．sin θ>0，tan θ>0   B．sin θ<0，tan θ>0

C．sin θ<0，tan θ<0   D．sin θ>0，tan θ<0

解析：选BD.＝＝＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.

12．已知角α为第二象限角，则cos α·＋sin2α ＝(　　)

A．1  B．－1  C．0  D．2

解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α ＝cos α ＝cos α·＝－1－sin α，sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin α，所以cos α ＋sin2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.

13．是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在角α，β满足条件．

由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

所以sin2α＝，所以sin α＝±.

因为α∈，所以α＝±.

当α＝时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，

所以β＝，此时①式不成立，故舍去．

所以存在α＝，β＝满足条件．

14．在△ABC中，

(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；

(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．

证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，

所以＝－，

所以cos＝cos＝sin ，

所以cos2＋cos2＝1.

(2)若cossintan(C－π)＜0，

所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，

即sin Acos Btan C＜0.

因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，

所以或

所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．

[C级　创新练]

15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为≈0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

解析：选C.因为m＝2sin 18°，且m2＋n＝4，

所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，所以＝＝＝2.故选C.

16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x的方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式＝________．

解析：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0得x2＋x(sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.

由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，

即(sin α－sin β)2≥4①.

因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.

由①②得sin α－sin β＝±2，所以或

因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝，β＝，即

因此＝＝＝.

答案：