专题14 用二元一次方程组确定一次函数表达式-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

用二元一次方程组确定一次函数表达式

【知识导图】

1.什么叫二元一次方程的解？

2.一次函数的图像是什么？

3.如图，求一次函数的图像的解析式

一、试一试

　1、问题：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来

　　方程x+y=5的解有无数多个，如：

　　2、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y = 5−x的图像上吗？

　　3、在一次函数y=5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

　　4、以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y = 5−x的图象相同吗？

二、做一做

　　在同一直角坐标系内分别作出一次函数y = 5−x和y = 2x−1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？

　　一次函数y = 5−x和y = 2x−1的图像的交点为(2，3)，因此，就是方程组的解

　　例1、用作图象的方法解方程组 

　　解：由x-2y= - 2可得y= ，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐标系中作出一次函数y =的图象和y=2x–2的图象，观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组  

　　的解是   

　　同学们你从本题中感悟到什么？

　　原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：

　　1、把二元一次方程化成一次函数的形式

　　2、在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点

　　3、交点坐标就是方程组的解  

　　三、练一练     

　　1、用作图象的方法解方程组   

　　解：由2x+y = 4 得y = −2x+4；由 2x−3y = 12，可得

　　在同一直角坐标系中作出函数y = −2x+4和函数的图象，观察图象可得交点为(3，−2)，所以方程组的解是

　　四、试一试

　　1、有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？

　　2、一次函数y = 2−x，y = 5−x的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？

　　没有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5；一次函数y = 2–x，y = 5−x的图象是两条平行的直线。

　　我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一次函数的图象平行（无交点）

　　二元一次方程组有一解<=>一次函数的图象相交（有一个交点）

　　二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图象重合（有无数个交点）

五。、小结

1、二元一次方程的图象实际上就是一次函数的图象

2、用图象法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图象法来解代数问题。

1.独立思考·解决问题

例1  已知点A（1，2）和点B（-2，5），试写出一个一次函数，使它的图象都经过A、B两点。

   解：设经过A、B两点的一次函数为  y=kx+b     

      ∵经过A（1，2）和点B（-2，5）

      ∴

      解这个方程组得

     所以这个一次函数的表达式为 y=-x+3           。

归纳：待定系数法的步骤可总结为四个字：“    设  、  列    、   解   、  代    ”

已知直线l1经过点A（0，3）及B（3，0），l2经过点M（1，2）及N（-2，-3）。求l1、l2的交点坐标。

分析：利用待定系数法先求出l1、l2的表达式，再把两个表达式联立，解方程组可得交点坐标。

类型一 二元一次方程（组）和一次函数的关系

1．     以方程的解为坐标的所有点都在一次函数y=_______的图象上。

2.一次函数y=7－4x和y=1－x的图象的交点坐标为_______，则方程组的解为_______.

类型二 二元一次方程组确定一次函数表达式

1．如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（    ）

A.y=－x+2   B.y=x－2    C.y=－x－2   D.y=x+2

1. 直线y=kx+b（k≠0）的表达式就是一个关于x，y的______方程，以二元一次方程y-kx=0的解为坐标的点组成的图像就是一次函数________的图像.

2．     二元一次方程5x+y=7有_____个解，经过以它的两个解为坐标的点就可以画出一次函数_______的图象.

2. 一次函数y=3x-5与y=2x+b的图象的交点的坐标为P（1，-2），试确定方程组的解和b的值.

1. 在一次函数y=5－2x的图象上任取一点，它的坐标________方程2x+y=5(此空填“适合”或“不一定适合”）.

2. 以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数________的图象相同.

3.已知两直线y1=2x－3,y2=6－x

（1）在同一坐标系中作出它们的图象.

（2）求它们的交点A的坐标.

（3）则方程的解.

1.已知直线l1:y=k1x+b1和直线l2:y=k2x+b2

（1）当__________时，l1与l2相交于一点，这个点的坐标是________.

（2）当__________时，l1∥l2，此时方程组的解的情况是________.

（3）当__________时，l1与l2重合，此时方程组的解的情况是________.

2.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.

（1）              分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；

（2）              若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？

1.方程2x+y=5的解有________个，请写出其中的四组解____________，在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们______一次函数y=5－2x的图象上（此空填“在”或“不在”）.

3. 方程组的解为________，则一次函数y=2－2x,y=5－2x的图象的交点是________.

4. 已知直线y=x与y=-2x+1相交，则其交点的坐标是_______.

1.已知y1=－x－4,y2=2ax+4a+b

（1）求a、b为何值时，两函数的图象重合？

（2）如果两直线相交于点（－1，3），求a、b的值.

2.如图，l甲、l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：

（1）乙出发时，与甲相距________千米；

（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；

（3）乙从出发起，经过______小时与甲相遇；

（4）甲行走的路程s(千米）与时间t(时）之间的函数关系是________；

（5）如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点.

1.用图象法解方程组

2.如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是80千米.请你根据图象回答或解决下面的问题：

（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？

（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？

（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.