专题06：三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（含答案解析）

这是一份专题06：三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（含答案解析），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题06:第2章三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．如图，在△中，，如果与的平分线交于点，那么＝_________ 度．

2．如图，在中，，，平分，平分，则______.

3．（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则_______，________，________
（2）若，则________．

4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．


二、解答题
5．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形；
（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　．
（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．

6．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．

7．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为　 　；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是　 　；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．

8．（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．

（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．
9．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
10．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
（简单应用）
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
（拓展延伸）
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．


参考答案
1．125
【解析】
【分析】
先利用三角形内角和定理求出的度数，进而可求的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】
，
．
∵BD平分，CD平分 ，
，
．
故答案为：125．
【点评】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．
2．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.
【详解】
解：∵平分，平分，
∴，
∴.
【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
3．40° 20° 10°
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3；
（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．
【详解】
解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC
=∠ACD－∠ABC
=（∠ACD－∠ABC）
=∠A
=40°
同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10°
故答案为：40°；20°；10°．
（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC
=∠ACD－∠ABC
=（∠ACD－∠ABC）
=∠A
=°
同理可证：∠A2=∠A1=°，
∠A3=∠A2=°
∴∠A2015=°
故答案为：°．
【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律．
4．15°
【解析】
【分析】
先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
【详解】
解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=∠E=×30°=15°．
故答案为：15°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．
5．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°
【解析】
【分析】
（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，
（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，
（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．
【详解】
解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝2∠C，
∴△ABC为2倍角三角形，
故答案为：2；
（2）∵最小内角为α，
∴3倍角为3α，
由题意可得：
3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，
∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．
故答案为22.5°＜α＜30°．
（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，
∵△EAF是4倍角三角形，
∴∠E＝×90°或×90°，
∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，
∴∠E＝∠ABO，
∴∠ABO＝2∠E，
∴∠ABO＝45°或36°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键．
6．（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的内角和定理可求解；
（2）由角平分线的性质可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性质可求解；
（3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.
【详解】
解：（1）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；
（2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，
∴∠BFC＝∠A＝；
（3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M，
∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，
∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，
∴∠G＝∠BFC＝，
∴∠BMC＝90°+.
【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.
7．（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；
（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，

故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，

故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，

∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，

由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，

由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
【点评】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．
8．（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；
（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
【详解】
（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)
=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−(180°−∠A)
=180°−90°+∠A
=90°+∠A，
即：∠D=90°+∠A；
（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，
∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，
∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，
即：∠A−360°+2∠D=−180°，
∴2∠D=180°−∠A，
即：∠A=180°−2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一个外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
9．（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°
【解析】
【分析】
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】
（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P=
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【详解】
（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
【点评】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．