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初中数学常见杨辉三角规律（1）——利用横行规律解题

发表时间：2021/8/3 来源：《教育学文摘》2021年第10期作者：贾风华

[导读] 杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形

        贾风华
        北大附中云南实验

        杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名。在欧洲，因为法国数学家布莱兹?帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。人教版初中数学八年级下册第113页，阅读与思考中对杨辉三角进行了简单的介绍。

一．利用杨辉三角的构建过程解题
例1．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：

【答案】2021；22020.
【解析】由于第一行对应的是(a+b)0，所以(a+b)2020对应的第2021行，所以共有2021项；展开式系数和为22020.
三、巧设未知数的值求展开式系数和
当二项式的a，b有了具体的式子时，系数和就不仅仅时杨辉三角横行之和，这时巧设未知数的值可解决问题。
例3．我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按x的升幂排列得：．

例4．杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，，，，，，）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为）都是上一行的数与_____积．
（2）由此你可写出=_________________．
【答案】11，161051．
【解析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
（1）11，121=11×11，1331=121×11，14641=1331×11，15101051=14641×11，?
（2）11?5=（10+1）?5=10?5+5×10?4×1+10×10?3×1?2+10×10?2×1?3+5×10×1?4+1?5=161051，?
针对性训练：
1．如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如 (为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题.