容斥原理-容斥原理优质

什么叫容斥原理?

容斥原理，是求解阴影部分面积中非常重要的一种方法。

容斥原理是什么

容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+
B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电容斥原理（2）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+
B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？
例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？
分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷
1 7 1 8 1 5 6 6 5 2
求这个班的学生共有多少人？
分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

容斥原理是什么？

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
高等数学容斥原理公式
n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m 两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 详细推理如下：
1、 等式右边改造 = ｛【（A+B - A∩B）+C - B∩C】 - C∩A ｝+ A∩B∩C
2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C
3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边【】号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分， 减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边｛｝里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5， 则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B ) 例1 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析
依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案
15+12-4=23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-(62+34-11)=15
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
例2
某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
例3
在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
例4
分母是1001的最简分数一共有多少个？ 分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。 解答：1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表： 短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷
1 7 1 8 1 5 6 6 5 2
求这个班的学生共有多少人？ 分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。 试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析
很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。 若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？
解答 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等分)，共计34个 由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1． 又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2， 同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4 由于这些相重点各不相同．所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段.

什么是容斥原理

【解析】依据两集合容斥原理基本公式：A+B-AB都满足=总数-AB都不满足。参加国家级竞赛人数为240× =140，参加两个级别竞赛的人数是240× =60，两者都不满足的人数为0，所以可得140+x-60=240，得出x=160，因此，本题选项为A。
②　三集合容斥原理
概念与两集合是类似的，只是多了第三个事物C类，去掉重复的部分不一样那么所使用的公式也不一样，三集合的基本公式如下：
v 公式一： v 公式二： 【例2】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
A. 7人 B. 8人
C. 5人 D. 6人
【答案】A
【解析】典型的三集合标准型容斥原理问题，依据公式直接求解即可。设同时报乙、丙职位的人数为x人，那么根据公式得到方程：42—0=22+16+25-8-6-x+0，得到x=7，因此，本题选项为A。
注：将公式中的每一项在题干中找对应位置即可。
【例3】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )
A.310 B. 360
C.390 D. 410
【答案】D
【解析】典型三集合容斥原理公式的直接应用，仅仅满足两个条件的人数已知，所以该题采用的一定是三集合的第二个公式，设回收的调查问卷一共有x份，依据公式得到方程：

容斥原理公式中各符号的含义是什么?

U代表全集，也就是所有的元素包含在一起，当然也包含AB。你说的口朝下的代表“交”，也就是他左右两边两个集合的公共元素。
如果写成口朝上代表并集，就是AB中所有不重复的元素的集合。
不知道你问的U是“由”还是并集。

容斥原理是什么

容斥原理，是求解阴影部分面积中非常重要的一种方法。

数学，什么是容斥原理？

不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

什么是容斥原理？

容斥原理是在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。 这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 扩展资料 容斥原理举例： 例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人。 分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

什么是数学上的容斥原理

容斥原理 容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+
B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电容斥原理（2）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+
B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？
例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？
分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷
1 7 1 8 1 5 6 6 5 2
求这个班的学生共有多少人？
分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

什么是容斥原理？

容斥原理，是求解阴影部分面积中非常重要的一种方法。

容斥原理怎么理解?

容斥原理，是求解阴影部分面积中非常重要的一种方法。

容斥原理理解

容斥原理实际上就是集合的运算公式，你说的第一个就是两个有部分相同元素的集合A和B的并集的元素个数，现在我们要计算并集的元素个数，首先我们假设相同 元素的个数为x，很简单x=｜A∩B｜，我们将两个集合元素个数相加，得到的结果中等于将相同元素的个数计算了两次，所以应该减去｜A∩B｜，所以容斥原理是成立的

三集合容斥原理公式该怎么理解？

二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。 其中A和B是两个集合，|A|表示集合A中的元素个数。在理解容斥原理时，完全可以把元素的个数类比做图形的面积，从而二集合容斥原理可以用下面的图形来表示： 扩展资料： 三集合容斥问题的核心公式如下： 标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。 非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。 列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。 | A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

请通俗讲一下集合容斥原理。。。公式都看不懂的说

郭敦顒回答： 抽象地讲容斥原理，确实不易理解，那么我就很通俗地说一下—— 容斥原理即逐步淘汰法，也叫筛法，在数论中占有非常重要的地位，最著明的筛法是爱拉托斯特尼筛法：为找出≤x的所有素数，写下所有≤x的自然数构成的序列2,3,4,5,…, x；从4往下划掉2的倍数,再从6往下划掉3的倍数,从10往下划掉5的倍数,依此继续下去,精确地说,在第k步后，没有划掉的k＋1个最小的数是素数，而如果Pk＋1是其中最大者，则k＋1步就是从2Pk＋1往下划掉Pk＋1的倍数．我们会在最后一个素数Pr处停下，Pr≤√x．事实上，如果自然数m满足√x＜m≤x且未被划去，则它不可能是一个积ab，其中a＞1，b＞1，因为否则数a和b至少有一个会≤√x，因此m会被已经找到的素数之一整除从而应当会被划去．这样，所有未被划去且＞√x的数是素数． 上面对为找出≤x的所有素数，写下所有≤x的自然数构成的序列2,3,4,5,…, x；从4往下划掉2的倍数,再从6往下划掉3的倍数,从10往下划掉5的倍数,依此继续下去,精确地说,在第k步后，没有划掉的k＋1个最小的数是素数，而如果Pk＋1是其中最大者，则k＋1步就是从2Pk＋1往下划掉Pk＋1的倍数．我们会在最后一个素数Pr处停下，Pr≤√x．事实上，如果自然数m满足√x＜m≤x且未被划去，则它不可能是一个积ab，其中a＞1，b＞1，因为否则数a和b至少有一个会≤√x，因此m会被已经找到的素数之一整除从而应当会被划去．这样，所有未被划去且＞√x的数是素数． 上面对爱氏筛法的描述只涉及到他筛法的操作方法步骤，并未涉及到其计算问题，下面谈谈其筛法的计算问题，这就涉及到容斥原理了。 如求小于210的奇素数，及个数。小于210的奇素数的个数记为p（1，210） 小于210的奇数是1，3，5，7，9，…，207，209 3为素数（略去了 “奇”字，下同）， 小于210的素数3的奇合数的个数h₃=210/（2×3）－1=35－1=34， 小于210的素数3的奇合数集合记为H₃={9，15，21，27，33，…，201，207} 5为素数，小于210的素数5的奇合数的个数h₅=210/（2×5）－1=21－1=20， 小于210的素数5的奇合数集合记为H₅={15，25，45，45，…，195，205} 7为素数，小于210的素数7的奇合数的个数h₇=210/（2×7）－1=15－1=14， 小于210的素数7的奇合数集合记为H₇={21，35，49，63，…，189，203} 11为素数，小于210的素数11的奇合数的个数h₁₁=210/（2×11）－1=10－1=9， 小于210的素数11的奇合数集合记为H₁₁={33，55，77，99，121，143，165，187，209}， 13为素数，小于210的素数13的奇合数的个数h₁₃=210/（2×13）－1=8－1=7， 小于210的素数13的奇合数记为H₁₃={39，65，91，117，143， 169，195} 13为小于√210的最大素数了，再大的素数为17，17²=289＞20与问题无关了。 3与5的二合数最小的是15，3与5的二合数的个数记为h₍₃.₅₎， h₍₃.₅₎=210/（2×15）=7，（均在小于210的范围内，下同） 3与5的二合数的集合记为H₍₃.₅₎， H₍₃.₅₎={15，45，75，105，135，165，195}； 3与7的二合数最小的是21，3与7的二合数的个数记为h₍₃.₇₎， h₍₃.₇₎=210/（2×21）=5， 3与7的二合数的集合记为H₍₃.₇₎， H₍₃.₇₎={21，63， 105，147，189 }； 3与11的二合数最小的是33，3与11的二合数的个数记为h₍₃.₁₁₎， h₍₃.₁₁₎=210/（2×33）=3， 3与11的二合数的集合记为H₍₃.₁₁₎， H₍₃.₁₁₎={33，99， 165， }； 3与13的二合数最小的是39，3与13的二合数的个数记为h₍₃.₁₃₎， h₍₃.₁₃₎=210/（2×39）=3， 3与13的二合数的集合记为H₍₃.₁₃₎， H₍₃.₁₃₎={39，117， 195 }； 5与7的二合数最小的是35，5与7的二合数的个数记为h₍₅.₇₎， h₍₅.₇₎=210/（2×35）=3， 5与7的二合数的集合记为H₍₅.₇₎， H₍₅.₇₎={35， 105，175}； 5与11的二合数最小的是55，5与11的二合数的个数记为h₍₅.₁₁₎， h₍₅.₁₁₎=210/（2×55）=2， 5与11的二合数的集合记为H₍₅.₁₁₎， H₍₅.₁₁₎={55， 165}； 5与13的二合数最小的是65，5与13的二合数的个数记为h₍₅.₁₃₎， h₍₅.₁₃₎=210/（2×65）=2， 5与13的二合数的集合记为H₍₅.₁₃₎， H₍₅.₁₃₎={65， 195}； 7与11的二合数最小的是77，7与11的二合数的个数记为h₍₇.₁₁₎， h₍₇.₁₁₎=210/（2×77）=1， 7与11的二合数的集合记为H₍₇.₁₁₎， H₍₇.₁₁₎={77}； 7与13的二合数最小的是91，7与13的二合数的个数记为h₍₇.₁₃₎， h₍₇.₁₃₎=210/（2×91）=1， 7与13的二合数的集合记为H₍₇.₁₃₎， H₍₇.₁₃₎={91}； 11与13的二合数最小的是143，11与13的二合数的个数记为h₍₁₁.₁₃₎， h₍₁₁.₁₃₎=210/（2×143）=1， 11与13的二合数的集合记为H₍₁₁.₁₃₎， H₍₁₁.₁₃₎={143}； 3、5、7的三合数最小的是105，3、5、7的三合数的个数记为h ₍₃.₅.₇₎， h₍₃.₅.₇₎=210/（2×105）=1， 3、5、7的三合数的集合记为H₍₃.₅.₇₎， H₍₃.₅.₇₎={105}； 3、5、11的三合数最小的是165，3、5、11的三合数的个数记为h ₍₃.₅.₁₁₎， h₍₃.₅.₁₁₎=210/（2×165）=1， 3、5、11的三合数的集合记为H₍₃.₅.₁₁₎， H₍₃.₅.₁₁₎={165}； 3、5、13的三合数最小的是195，3、5、13的三合数的个数记为h ₍₃.₅.₁₃₎， h₍₃.₅.₁₃₎=210/（2×195）=1， 3、5、13的三合数的集合记为H₍₃.₅.₁₃₎， H₍₃.₅.₁₃₎={195}； 小于210的奇素数的个数： p（1，210）=210/2－1－（h₃+h₅+h₇+h₁₁+h₁₃） +（h₍₃.₅₎+h₍₃.₇₎+h ₍₃.₁₁₎+h ₍₃.₁₃₎+h₍₅.₇₎+h₍₅.₁₁₎+h₍₅.₁₃₎+h₍₇.₁₁₎+h₍₇.₁₃₎+h₍₁₁.₁₃₎） －（h₍₃.₅.₇₎+ h₍₃.₅.₁₁₎+ h₍₃.₅.₁₃₎） =105－1－（34+20+14+9+7）+（7+5+3+3+3+2+2+1+1+1）－（1+1+1） =104－84+28－3=45 区间（1，210）内奇素数的集合记为P（1，210）， P（1，210）={3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199}，区间（1，210）内奇素数的个数为45，这与前面的计算结果一致。 小于210的奇数共105个，减自然数1的个数1后为104个奇数；减3、5、7、11、13的合数个数的和84；多减了二合数，二合数个数的和为28，进行补偿，故加28；又多补偿了三合数，三合数个数的和为3，故再扣除3，故有计算式： 210/2－1－84+28－3=45。

容斥原理是什么

容斥原理（1）
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+
B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
电容斥原理（2）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+
B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

容斥原理理解

先画一个韦恩图，在三个大圆上分别标注A、B、C，两两相交部分根据情况标注A∩B、A∩C、B∩C，最中间也就是三个都相交的部分标注为A∩B∩C。计算整体面积(A∪B∪C)要用A+B+C。但请注意，此时A∩B、A∩C和B∩C部分重复加了两次，所以各减去一个。而减完后发现A∩B∩C重复减了三次，因此还要加上一个A∩B∩C才完整。第一个公式的意思也是如此。
加奇减偶就是说加上奇数个相交(A、B、C和A∩B∩C)、减去偶数个相交(A∩B、A∩C、B∩C)。
可不可以给一些悬赏分啊?

什么是容斥原理，什么是抽屉原理？

容斥原理：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 抽屉原理：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。 扩展资料： 构造抽屉的方法 运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉。例如，属相是有12个，那么任意37个人中，至少有一个属相是不少于4个人。这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有 37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，但这里需要注意的是，前面的余数1和这里加上的1是不一样的 。 因此，在问题中，较多的一方就是物件，较少的一方就是抽屉，比如上述问题中的属相12个，就是对应抽屉，37个人就是对应物件，因为37相对12多。 参考资料来源：百度百科-抽屉原理 参考资料来源：百度百科-容斥原理

容斥原理

先要理解容斥原理：基本模型：2种类型的时候：游泳x人，短跑y人，同时游泳和短跑z人，则总人数为x+y-z人。可以这样理解：游泳x人，同时两项的有z人，则只游泳的有x-z人，所以总人数为只游泳的人加上短跑的人，即x+y-z人。对于更多项的一样可以解决。可以借助图表的方法解决。 每个椭圆表示一项优秀的，两个椭圆的公共部分表示两项同时优秀的，由此可得总人数为 7+4+9+4+2+3+6+4=39人。 实际上，对于这个问题，一般的有公式： 有n项活动A1，A2，A3，。。。，An，参加A1的有（A1）人，参加A2的有（A2）人，。。。 参加An的有（An）人，同时参加两项的有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4）。。。 （A1，An），（A2，A3），（A2，A4），。。。，（A2，An），。。。 （An-1，An）。同时参加三项的，。。。。同时参加n项的人。 那么总人数是参加一项的人数减去参加两项的人数，再加上同时参加三项的人数，再减去同时参加四项的人数，一直到加上【（-1）^(n+1)】×（A1，A2，。。。An）。 运用公式。此题为17+18+15-6-6-5+2再加4个都不优秀的，总共39人。

请问容斥原理是什么?

容斥原理是在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑...然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
更详细资料：
http://course.cug.edu.cn/cugFirst/discrete_mathe/netClass/Combinatorics/contents/11-02-2.htm

四个集合的容斥原理怎么算？

容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式： A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式： A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

离散数学 4个集合的容斥原理，怎么推出来的？急求

A∪B∪C∪D=|A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A|- |A∩D| - |B∩D| - |C∩D|
+|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|

推导过程我们可以先看三个，比如你过程中出现的|B∪C∪D|

|B∪C∪D|=|B|+|C∪D|-|B∩(C∪D)|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|[(B∩C)∪(B∩D)]|
=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|B∩C|-|B∩D|+|B∩C∩D|
然后四个也是一样推下去~哪里看不懂再问我吧~~

四个集合的容斥原理公式怎么解决

A∪B∪C∪D=|A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A|- |A∩D| - |B∩D| - |C∩D|
+|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|

推导过程我们可以先看三个，比如你过程中出现的|B∪C∪D|

|B∪C∪D|=|B|+|C∪D|-|B∩(C∪D)|=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|[(B∩C)∪(B∩D)]|
=|B|+|C|+|D|-|C∩D|-|B∩C|-|B∩D|+|B∩C∩D|

三个集合容斥原理公式区别

第一个公式是正确的，第二公式原型是 A ∪B∪C=A＋B＋C-满足两项的-2*满足三项的。 你把满足两项的和A∩B弄混淆了 我简单画了一下， 满足两项只是指m, 而A∩B 指的是m+n