曲线的凹凸与拐点

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1、一 、 曲 线 凹 凸 的 定 义问 题 :如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ? xyo xyo 1x 2x)(xfy 图 形 上 任 意 弧 段 位 于 所 张 弦 的 上 方xyo )(xfy 1x 2x图 形 上 任 意 弧 段 位于 所 张 弦 的 下 方 A B C 定 义 ;),()( ,2 )()()2(, ),(,),()( 212121 内 的 图 形 是 凹 的在那 末 称 恒 有两 点 内 任 意如 果 对内 连 续在设 baxf xfxfxxfxx babaxf ;),()( ,2 )()()2( ,),( 2121 21内 的 图 形 是 凸 的在那 末 称

2、 恒 有内 任 意 两 点如 果 对 baxf xfxfxxf xxba ;)(,)(,)( ),(,)( 的或 凸内 的 图 形 是 凹在那 末 称的或 凸 内 的 图 形 是 凹且 在内 连 续在如 果 baxf babaxf 二 、 曲 线 凹 凸 的 判 定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B递 增)(xf a bBA0y 递 减)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)( 上 的 图 形 是 凸 的在则 上 的 图 形 是 凹 的在则 内若 在二 阶 导 数 内 具 有在上 连 续在如 果 baxfxf baxfxf

3、ba babaxf 例 1 .3 的 凹 凸 性判 断 曲 线 xy 解 ,3 2xy ,6xy 时 ，当 0 x ,0y 为 凸 的 ；在曲 线 0,( 时 ，当 0 x ,0y 为 凹 的 ；在曲 线 ),0 .)0,0( 点是 曲 线 由 凸 变 凹 的 分 界点注 意 到 , 三 、 曲 线 的 拐 点 及 其 求 法 连 续 曲 线 上 凹 凸 的 分 界 点 称 为 曲 线 的 拐 点 . 定 理 2 如 果 )(xf 在 ),( 00 xx 内 存 在 二 阶 导数 ,则 点 )(, 00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是 0)( 0 xf . 1.定 义注 意 :拐

4、点 处 的 切 线 必 在 拐 点 处 穿 过 曲 线 .2.拐 点 的 求 法证 ,)( 二 阶 可 导xf ,)( 存 在 且 连 续xf ,)()( 0两 边 变 号在则 xxfxf ,)(,( 00 是 拐 点又 xfx ,)( 0取 得 极 值在 xxf ,条 件由 可 导 函 数 取 得 极 值 的.0)( xf方 法 1: ,0)( ,)(0 0 xf xxf且 的 邻 域 内 二 阶 可 导在设 函 数 ;)(,(,)()1( 000 即 为 拐 点点变 号两 近 旁 xfxxfx .)(,(,)()2( 000 不 是 拐 点点不 变 号两 近 旁 xfxxfx 例 2 .

5、143 34凹 、 凸 的 区 间 的 拐 点 及求 曲 线 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹 的 凸 的 凹 的拐 点 拐 点)1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹 凸 区 间 为 方 法 2: .)( )(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0的 拐 点线 是 曲那 末而 且的 邻 域 内 三 阶 可 导在设 函 数xfy xfxxfxf xxf 例 3 .)2,0(cossin 的 拐 点内求 曲 线 xxy解

6、,sincos xxy ,cossin xxy .sincos xxy ,0y令 .47,43 21 xx得 2)43( f ,0 2)47( f ,0 内 曲 线 有 拐 点 为在 2,0 ).0,47(),0,43( .)( )(,(,)( 000 的 拐 点是 连 续 曲 线 也 可 能点不 存 在若 xfy xfxxf 注 意 : 例 4 .3 的 拐 点求 曲 线 xy 解 ,0时当 x ,31 32 xy ,94 35 xy .,0 均 不 存 在是 不 可 导 点 yyx ,0,)0,( y内但 在 ;0,( 上 是 凹 的曲 线 在 ,0,),0( y内在 .),0 上 是 凸

7、 的曲 线 在 .)0,0( 3 的 拐 点是 曲 线点 xy 四 、 小 结曲 线 的 弯 曲 方 向 凹 凸 性 ;改 变 弯 曲 方 向 的 点 拐 点 ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 点 的 求 法 1, 2. 思 考 题 设 )(xf 在 ),( ba 内 二 阶 可 导 ， 且 0)( 0 xf ， 其 中 ),(0 bax ， 则 ,( 0 x )( 0 xf 是 否 一 定 为 曲 线 )(xf 的 拐 点 ？ 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答 因 为 0)( 0 xf 只 是 ,( 0 x )( 0 xf 为 拐 点的 必 要 条 件 ， 故 ,( 0 x )( 0 x

8、f 不 一 定 是 拐 点 .例 4)( xxf ),( x 0)0( f 但 )0,0( 并 不 是 曲 线 )(xf 的 拐 点 . 一 、 填 空 题 ： 1、 若 函 数 )(xfy 在 （ ba, ） 可 导 ， 则 曲 线 )(xf 在 ( ba, ) 内 取 凹 的 充 要 条 件 是 _. 2、 曲 线 上 _的 点 ， 称 作 曲 线 的 拐 点 . 3、 曲 线 )1ln( 2xy 的 拐 点 为 _. 4、 曲 线 )1ln( xy 拐 点 为 _. 二 、 求 曲 线 xey arctan 的 拐 点 及 凹 凸 区 间 . 三 、 利 用 函 数 图 形 的 凹 凸

9、性 ， 证 明 不 等 式 ： 22 yxyx eee )( yx . 四 、 求 曲 线 2sin2 cot2ay ax 的 拐 点 . 练 习 题 五 、 试 证 明 曲 线 112 xxy 有 三 个 拐 点 位 于 同 一 直 线上 . 六 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3)为 曲 线 23 bxaxy 的 拐 点 ？ 七 、 试 决 定 22 )3( xky 中 k 的 值 ,使 曲 线 的 拐 点 处的 法 线 通 过 原 点 . 一 、 1、 ),()( baxf 在 内 递 增 或 0)(),( xfbax ； 2、 凹 凸 部 分 的 分 界 点 ； 3、 2,(),2),2,2( 2 e ； 4、 )2ln,1(),2ln,1( . 二 、 拐 点 ),21( 21arctane ,在 21,( 内 是 凹 的 , 在 ),21 内 是 凸 的 . 四 、 拐 点 )23,332( aa 及 )23,332( aa . 五 、 ).)32(4 31,32(),)32(4 31,32(),1,1( 练 习 题 答 案 六 、 29,23 ba . 七 、 82k .