机器人工具坐标系标定原理
工业机器人使用过程中经常在机器人末端法兰面安装不同的工具来满足实际生产需求，为了准确控制工具运动的位置与姿态，需要对工具所在坐标系进行标定。
对于工业机器人来说，基坐标 B与 末端法兰面所在坐标系 E 之间的关系在制作机器人的时候已经设定好，每次机械臂在运动时，每一个关节的旋转扭角在变化，进而计算出各个关节的坐标系变换，具体原理可以参考机器人D-H坐标系的构建。本文简化其中的关系，假定基坐标B 与末端法兰面所在坐标系 E之间的变换矩阵为 T_{End}^{Base}=\left[\begin{array}{clr} R_{End}^{Tool}&P_{End}^{Base}\\ 0&1\\ \end{array}\right]。工具坐标系与末端坐标系的变换矩阵为 T_{Tool}^{End}=\left[\begin{array}{clr} R_{Tool}^{End}&P_{Tool}^{End}\\ 0&1\\ \end{array}\right]，三种坐标系有如下关系：
T_{Tool}^{Base}=T_{End}^{Base}*T_{Tool}^{End} (1)
三种坐标系关系如下图1所示：
由于工具与机器人末端法兰面的位置关系固定不变，其标定过程是标定机器人工具所在坐标系 T 与机器人末端坐标系 E 的关系，这里用矩阵 T_{Tool}^{End} 表示，其含义是工具坐标系相对于机器人末端坐标系的位置关系，标定类型与手眼标定类似。由于 T_{Tool}^{End}=\left[\begin{array}{clr} R_{Tool}^{End}&P_{Tool}^{End}\\ 0&1\\ \end{array}\right] ，那么标定过程可以分为两个部分，工具中心点位置(TCP) P_{Tool}^{End} 标定，工具坐标系姿态标定(TCF) R_{Tool}^{End} 。
- 工具中心点位置(TCP)标定
步骤：
- 机器人工具枪尖围绕一个固定点多次变换姿态旋转，每次旋转记录 T_{End}^{Base} ；
- 计算得到 T_{Tool}^{End} 。
计算过程：对于第 i 次姿态变换，有公式：
T_{Tool}^{Base}i=T_{End}^{Base}i*T_{Tool}^{End} （2）
公式(2)可以写成公式：
\left[\begin{array}{clr} R_{Tool}^{Base}i&P_{Tool}^{Base}i\\ 0&1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{clr} R_{End}^{Base}i&P_{End}^{Base}i\\ 0&1\\ \end{array}\right]*\left[\begin{array}{clr} R_{Tool}^{End}i&P_{Tool}^{End}i\\ 0&1\\ \end{array}\right] (3)
取矩阵最后一列写出等式：
R_{End}^{Base}i*P_{Tool}^{End}i+P_{End}^{Base}i=P_{Tool}^{Base}i （4）
第 n 阶为：
R_{End}^{Base}(n-1)*P_{Tool}^{End}+P_{End}^{Base}(n-1)=R_{End}^{Base}(n)*P_{Tool}^{End}+P_{End}^{Base}(n)
R_{End}^{Base} 与 P_{End}^{Base} 已知，求 P_{Tool}^{End} ，具体求解过程不讨论了，使用最小二乘法还是极大似然法估计法我觉得都可以。
- 工具坐标系姿态(TCF)标定
我认为工具坐标系姿态比较好标定，看上面图1，工具坐标系 T 的零点在枪尖末端，一旦位置确定后，姿态可以是任意的，有无数种，就看选择那种比较方便了。目前接触到两种标定姿态：
- 工具坐标系姿态直接使用机器人末端 E 的姿态，这样两者之间只有平移关系；
- 工具坐标系姿态直接使用机器人基座 B 的姿态，同样两者之间只有平移关系。
公式不写出来了，好像很简单。
其实工具坐标系姿态也可以直接使用机器人其他关节的姿态。
安川机器人的五点标定中的姿态标定应该是上面2的方法，因为标定时候只是在旋转枪尖，没有平移的操作。安川机器人的25点标定是在消除标定时带来的随机误差，使得标定更加准确。
本文参考文献：熊烁, 叶伯生, 蒋明. 机器人工具坐标系标定算法研究%Study of Robot Tool Coordinate Frame Calibration[J]. 机械与电子, 2012, 000(006):60-63.
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