全体自然数的和及物理学中的应用
有一个还挺著名的结论：所有自然数的总和等于 -\frac{1}{12}，即：
1+2+3+4+\cdots= -\frac{1}{12} \\
在不去管什么无穷数列是不是收敛之类的前提下，一通猛如虎的骚操作就可以“证明”上面整个结果。
为了讨论方便，我们将要求和的这一串东西起个名字，以后就记作：
\boxed{S \equiv 1+2+3+4+5+6+\cdots} \\
为了瞎搞出 S 这个级数和，我们可以先考虑一下这么一个同样很迷的级数：
\boxed{P\equiv 1-1+1-1+1-1+\cdots} \\
暗中观察一下，发现加一些括号可以很快解决这个求和：
P = (1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots =0 \\
就这么解决了？且慢，再暗中观察一下，我们还可以换一下括号的位置：
P = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \cdots = 1+0+0+\cdots =1 \\
啥？同一个级数还能求和求出两个不一样的结果？没事，反正我们说了要瞎搞，碰到这样不那么合理的结论，索性取个平均值，谁也不亏欠，所以我们的结论是
\boxed{P=\frac{1}{2}} \\
不过虽然是瞎搞，但是我还是要让读者觉得这么瞎搞有道理。再这么胡搞一通试试：
1-P = 1 - (1-1+1-1+\cdots) = 1-1+1-1+\cdots = P \\
咦？！1-P 搞着搞着居然高出了 P 自己！
1-P=P \quad \Rightarrow \quad \boxed{ P=\frac{1}{2} } \\
两条路给出了相同的结论，我们应该对这个结论有点信心。
好，放心地继续瞎搞。
我们接着考虑另一个迷之级数：
\boxed{ Q \equiv 1-2+3-4+5-6+\cdots} \\
搞两个 Q 加到一起试试：
\begin{aligned} Q + Q & = 1 + (1-2) + (-2+3) + (3-4) + (-4+5) + (5-6) + \cdots \\ & = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +\cdots \\ & = P\end{aligned} \\
相加时我们保留了来自第一个 Q 的第一项没动，之后把两坨求和中的每一项错位组合起来。最后的形式，咦？不就是刚才我们定义的级数P么！
Q=\frac{1}{2}P \quad \Rightarrow \quad \boxed{Q= \frac{1}{4}} \\
我们现在有足够的迷之结论来对付最开始的问题了。考虑 S-Q：
\begin{aligned} S-Q &= 1+2+3+4+5+6+\cdots - (1-2+3-4+5-6+\cdots) \\ &= (1-1) + (2+2) + (3-3) + (4+4) + (5-5) + (6+6) + \cdots \\ &= 4 + 8 + 12 + \cdots \\ &= 4 \times (1+2+3+\cdots) \\ &= 4S\end{aligned} \\
第二行我们把两坨求和中的每一项对应进行了组合，最后化简整理出了4倍 S 的表达式！
好家伙，下面还不容易搞定？
S = -\frac{1}{3}Q \quad \Rightarrow \quad \boxed{S=-\frac{1}{12}} \\
好了，我们对全体自然数求和的结论已经呼之欲出:
\boxed{1+2+3+4+5+6+\cdots=-\frac{1}{12}} \\
惊喜不惊喜！意外不意外！一堆正整数，显然是要趋于正无穷大发散的级数求和，我们不仅搞出了一个确定的数，而且还是个负数！
神奇的是，以上的推导，几乎每一步都很坑爹，但是最后的结论，在某种意义上居然还是对的！
科学一点，数学上可以定义所谓的黎曼 \zeta 函数（Riemann zeta function）：
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \\
在 s>1 时（严格说应该是 s 的实部大于 1 时），这个级数时收敛的。对于 s<1 的情形，可以通过复分析中一种叫做解析延拓（analytical continuation）的高级操作，让 \zeta(s) 的值也能有明确的定义。全体自然数的和相当于 \zeta(-1)，通过这种方法计算出来的结果，也会是 \zeta(-1)=-\frac{1}{12}
在量子物理中，有一个叫做 Casimir 效应的现象，说的是由于真空中的能量涨落，两片不带电的金属板之间也会产生一个迷之吸引作用。在理论推导这个作用力大小的过程中，大约也会搞出这么个 1+2+3+\cdots 的求和问题。
我读过的物理教材中的常见处理方法是引入很小的常数 \epsilon，然后言之凿凿地论证说能量高到一定程度之后，没有什么金属板可以顶得住，于是求和式中的每一项都乘上一个随 n 递减的指数因子 \mathrm{e}^{-\epsilon n}，让求和变得收敛。求完之后再令 \epsilon\to0，再找一个名正言顺的理由把不想要的东西丢掉，最后混出一个结果来。
\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty} n & \longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-\epsilon n} \\& =-\frac{\partial}{\partial \epsilon} \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-\epsilon n} \\& = -\frac{\partial}{\partial \epsilon} \left( \frac{\mathrm{e}^{-\epsilon}}{1-\mathrm{e}^{-\epsilon}} \right) \\& = -\frac{\partial}{\partial \epsilon} \left( \frac{1}{\mathrm{e}^{\epsilon}-1} \right) \\& = \frac{\mathrm{e}^{\epsilon}}{(\mathrm{e}^{\epsilon}-1)^2} \\\end{aligned} \\
将这堆东西强行展开成多项式：
\begin{aligned}\frac{\mathrm{e}^{\epsilon}}{(\mathrm{e}^{\epsilon}-1)^2} & = \frac{1+\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2}+\mathcal{O}(\epsilon^3)}{\left[ \epsilon+\frac{\epsilon^2}{2} + \frac{\epsilon^2}{6} +\mathcal{O}(\epsilon^4) \right]^2} \\& = \left[1+\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2}+\mathcal{O}(\epsilon^3) \right] \times \frac{1}{\epsilon^2} \left[1+\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon^2}{6}+\mathcal{O}(\epsilon^3) \right]^{-2} \\& = \frac{1}{\epsilon^2} \left[1+\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2} \right] \times \left[1-2\left(\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon^2}{6}\right) + 3\left(\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon^2}{6}\right)^2 \right] +\mathcal{O}(\epsilon) \\& = \frac{1}{\epsilon^2} \left[1+\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2} \right] \times \left[1- \epsilon - \frac{\epsilon^2}{3} + \frac{3\epsilon^2}{4} +\mathcal{O}(\epsilon^3) \right] +\mathcal{O}(\epsilon) \\& = \frac{1}{\epsilon^2} \left[1+\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2} \right] \times \left[1- \epsilon + \frac{5\epsilon^2}{12} \right] +\mathcal{O}(\epsilon) \\& = \frac{1}{\epsilon^2} \left[1+ (1-1)\epsilon + \left( \frac{5}{12} -1 + \frac{1}{2} \right)\epsilon^2 \right] +\mathcal{O}(\epsilon) \\& = \frac{1}{\epsilon^{2}}-\frac{1}{12}+\mathcal{O}(\epsilon)\end{aligned} \\
稍微缕一缕，我们发现：
\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty} \longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-\epsilon n} = \frac{1}{\epsilon^{2}}-\frac{1}{12}+\mathcal{O}(\epsilon) } \\
经过所谓的正规化（regularization）处理后，发散的 \frac{1}{\epsilon^{2}} 项被扫地出门，最后只留下这么个 -\frac{1}{12} 的结果会有物理意义，其中的负号代表板之间的力是吸引作用。
另外，在弦理论中，需要 D=26 个时空维度才能使得计算结果有意义。这个结论的论证也跟 1+2+3+\cdots 的求和有点关系。
在玻色弦论（bosonic string theory）中，光子对应的弦具有能量，根据质能关系，它也会有质量。弦的整体能量包括弦振动的能量和由于量子涨落导致的零点能（zero point energy）。
一方面，由于光子有两个极化（polarisation）方向，所以我们大致可以认为需要2份的能量来引起振动。
另一方面，光子对应的弦可以有很多种振动模式，它们的频率类似于两端都是波腹（antinode）的驻波，它们的频率会以 1:2:3:\cdots 的比例逐级递增。每种振动模式下出现的能量涨落跟振动频率成正比，因此弦在每个方向上振动的零点能正比于 (1+2+3+\cdots)。而光子只能在垂直于传播方向上振动，振动方向的数量将比空间的维数少1，也就是比时空的维数少2.因此量子涨落的零点能大约会正比于 (D-2)\times(1+2+3+\cdots)
一通操作后，我们发现光子对应的弦具有的总能量会正比于
2 + (D-2)\times(1+2+3+\cdots) \to 2 - \frac{D-2}{12} \\
稍微靠谱点的，通过正则量子化手段利用产生算符构造出的粒子态，对应的质量由下式给出：
M^2 = \frac{4}{\alpha}\left( 1 - \frac{D-2}{24} \right) \\
为了保证理论具有 Lorentz 不变性，光子的静质量必须为零。由此得出时空的维度必须是：D=26
参考材料
- 维基百科， https://en.wikipedia.org/wiki/1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
- David Tong, Cambridge Lecture Notes on String Theory, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html
- 大栗博司，《超弦理论》，人民邮电出版社
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