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陪你复习微积分（七）：三角函数的极限和导数

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三角函数的极限

求三角函数的极限，首先要看 $x$ 的大小情况。

小数的情况

我们知道 sin(0) = 0 ，那么当 x 趋近于 0 时， sin(x) 会如何呢？我们可以从图像上来看：

当 x 非常接近 0 时， sin(x) 表现的和 x 很像，在数学上，也确实有极限：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=1

这个公式非常重要，这是解决很多三角函数相关微积分问题的关键所在。

对于余弦，很明显有：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \cos (x)=1

而关于 tan(x) 呢，这里的关键在于它可以写成 sin(x) / cos (x) ，分子在 x \to 0 时为 x ，分母为 1，所以有：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x)}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)=(1)\left(\frac{1}{1}\right)=1

即：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}=1

现在再来看 cos(x) / x 的情况，即：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{x}

直接将 x = 0 代入会得到 1 / 0 ，即无限大，但要注意符号：

\\ \lim {x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x}=\infty, \quad \lim {x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos (x)}{x}=-\infty

左右极限不相等，所以该极限不存在。

问题的求解——小数的情况

求：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{2}}

当 x 接近 0 时， x^2 也是 0，所以这个极限最后的结果就是 1。用 tan 替换 sin 也是一样的，当然，余弦就不行了。可以记住这两个结论：

\\ \lim_{x \to 0}\frac{sin(\text{小数})}{同样的小数} = 1
\\ \lim_{x \to 0}\frac{tan(\text{小数})}{同样的小数} = 1

现在来看另一个例子：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (5 x)}{x}

这里分子中是 5x 而分母是 x ，但是没关系，可以除以 5x 再乘以 5x ，得到：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (5 x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin (5 x)}{5 x} \times(5 x)}{x}

应用上面的结论或者方法，很明显最后的结果是 5。

再看一个复杂一些的例子：

\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{3}(2 x) \cos \left(5 x^{19}\right)}{x \tan \left(5 x^{2}\right)}

对于一个复杂的式子，可以先进行分解。首先是 \sin ^{3}(2 x) ，这其实就是 (\sin (2 x))^{3} 的另外一种写法，所以做法跟之前一样，只不过这次多了一个立方，变成：

\\ \frac{(\sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} \times(2 x)^{3}

再看 \cos \left(5 x^{19}\right) ，当 x \to 0 时，这很明显是 1，所以不用再做别的操作了。

分母上，有一个 x 暂且不知道该如何处理，所以先不动，而 tan(5x^2) 变成：

\\ \frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}} \times\left(5 x^{2}\right)

所以最后有：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{3}(2 x) \cos \left(5 x^{19}\right)}{x \tan \left(5 x^{2}\right)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{(\sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} \times(2 x)^{3}\right] \cos \left(5 x^{19}\right)}{x\left[\frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}} \times\left(5 x^{2}\right)\right]}

简单整理一下就是：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{(\sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} \cdot \cos \left(5 x^{19}\right)}{\frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}}} \times \frac{(2 x)^{3}}{x\left(5 x^{2}\right)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{\sin (2 x)}{(2 x)}\right)^{3} \cos \left(5 x^{19}\right)}{\frac{\tan \left(5 x^{2}\right)}{5 x^{2}}} \times \frac{8 x^{3}}{5 x^{3}}

应用上面的结论和方法，最后得到 8/5 。

下面这个就是一个稍微绕一下的例子了：

\\ \lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{5}{x}\right)

虽然这里不是求当 x \to 0 的极限，但是当 x \to \infty 时， \frac{5}{x} \to 0 ，所以这其实还是一个小数极限问题，最后结果是 5，留给读者自行计算了。

当遇到正割，余割或者余切时，最稳妥的做法是把它们转换成正弦，余弦或者正切。

有一点要特别注意，我们所说的当 x \to 0 时， x 表现得和 sin(x) 很像，是在乘积或者商的语境下说的， \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin (x)}{x^{3}} 就不能用上面的方法求解，这个极限后面需要用洛必达法则或者麦克劳林级数进行求解。

最后我们再求一个后面会有用的极限：

\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}

这个极限的解法是：

\\ \begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x} \times \frac{1+\cos (x)}{1+\cos (x)} \ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2}(x)}{x} \times \frac{1}{1+\cos (x)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2}(x)}{x} \times \frac{1}{1+\cos (x)} \end{aligned}

sin^2(x) 可以拆成 sin(x) \times sin(x) ，又由于 sin(0) = 0 ，所以有：

\\ \lim {x \rightarrow 0}\left(\sin (x) \times \frac{\sin (x)}{x} \times \frac{1}{1+\cos (x)}\right)=0 \times 1 \times \frac{1}{1+1}=0

大数的情况

考虑极限：

\\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)}{x}

当 x 非常大时，其正弦会在 1 和 -1 之间来回摇摆，所以无法直接判断，但是可以用三明治定理来求解（详见第三章），即利用三角函数最基本的性质：

\\ -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1

不等式各个部分同时除以 x ，变成：

\\ \frac{-1}{x} \leqslant \frac{\sin (x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}

这就求出了当 x \to \infty 时， 0 \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 0 ，即：

\\ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)}{x} = 0

再来看另一个例子：

\\ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \sin \left(11 x^{7}\right)-\frac{1}{2}}{2 x^{4}}

因为是 x \to \infty ，所以直觉告诉我们 \sin(11x^7) 可能不重要，因为最大也就是 1 了，所以分子主要就是 x 了，而分母中是 x^4 ，所以这个问题感觉上应该是 0，下面来证明一下：

还是利用三明治定理，所以首先想到的就是三角函数的性质 -1 \leqslant \sin(11x^7) \leqslant 1 ，对于所有 x > 0 来说，这个不等式可以变形为 -x-\frac{1}{2} \leqslant x \sin \left(11 x^{7}\right)-\frac{1}{2} \leqslant x-\frac{1}{2} （注意如果 x < 0 就不是这样了），显然不等式的左右两侧分别是负无穷和正无穷，这似乎不能证明什么，所以先往下看。由于分母是大于 0 的（这是 x \to \infty 的情况），所以有：

\\ \frac{-x-\frac{1}{2}}{2 x^{4}} \leqslant \frac{x \sin \left(11 x^{7}\right)-\frac{1}{2}}{2 x^{4}} \leqslant \frac{x-\frac{1}{2}}{2 x^{4}}

应用前面章节学到的方法，很容易就能求出 x \to \infty 不等式两侧的极限都是 0，所以这个极限就是 0。

由不等式 -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 （ \cos(x) 也可以）可以得知， \sin(x) 和 \cos(x) 可以看作次数比 x 的任意正数次幂还要低的项，但是这仅限于它用来做加减运算，乘除运算就不能这么认为了，可以写成一个结论公式，对于任意正数 \alpha ：

\\ \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(\text{任何数})}{x^\alpha} = 0

上述结论换成余弦也是一样。但是如果 x 的次数是 0，则正弦余弦就变的很重要了。

“其他的”情况

求极限：

\\ \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos (x)}{x-\frac{\pi}{2}}

这里不是大数也不是小数，如果直接代入，会得到 0 / 0 的不定式，所以遇到这种 x \to a 的极限，而且 a 不等于 0，有一个常用的方法，就是设 t = x - a ，这样极限就变成了 t \to 0 时的极限。所以这个极限就变成了：

\\ \lim {x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos (x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim {t \rightarrow 0} \frac{\cos \left(t+\frac{\pi}{2}\right)}{t}

这个式子有点眼熟，如果是 \sin(t) 就好了。还记得三角函数的一些恒等式吗， \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin (x) ，所以 \cos(t + \frac{\pi}{2}) = sin(-t) ，而正弦函数又是奇函数，所以 \cos \left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\sin (-t)=-\sin (t) ，最后有：

\\ \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos (x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\cos \left(t+\frac{\pi}{2}\right)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{-\sin (t)}{t}=-1

三角函数的导数

先来看 \sin(x) 的导数，我们将使用前面使用过的两个极限：

\\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (h)}{h}=1

\\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos (h)}{h}=0

现在先按照正常导数的解法来求解，得到：

\\ f^{\prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}

这里需要用到一个三角恒等式：

\\ \sin (A+B)=\sin (A) \cos (B)+\cos (A) \sin (B)

代入上面的极限会得到：

\\ f^{\prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\sin (x) \cos (h)+\cos (x) \sin (h)-\sin (x)}{h}

提取公因式得到：

\\ \begin{aligned} f^{\prime}(x) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x)(\cos (h)-1)+\cos (x) \sin (h)}{h} \ =\lim_{h \rightarrow 0}\left(\sin (x)\left(\frac{\cos (h)-1}{h}\right)+\cos (x)\left(\frac{\sin (h)}{h}\right)\right) \end{aligned}

注意这里我们将 x 和 h 都分开，使用本节开始时提到的两个前面用过的极限，就可以得到：

\\ f^{\prime}(x)=\sin (x) \times 0+\cos (x) \times 1=\cos (x)

即：

\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sin (x)=\cos (x)

余弦的导数也是一样的解法，只不过需要用的三角恒等式是：

\\ \cos (A+B)=\cos (A) \cos (B)-\sin (A) \sin (B)

最后得到：

\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \cos (x)=-\sin (x)

知道了正弦和余弦的导数，正切就可以求了，只需要利用商法则即可：

\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{v \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}-u \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}}{v^{2}}=\frac{\cos (x)(\cos (x))-\sin (x)(-\sin (x))}{\cos ^{2}(x)}

最后分子是 1，所以有：

\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \tan (x)=\sec ^{2}(x)

其余三角函数也都可以用商法则或者链式求导法则或者乘积法则去求，这里就不多说了，用的时候现查或者现推都可以。

有一个结论可以记住：

\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\sin (a x))=a \cos (a x)

用链式求导法则很容易求出，但如果你记住这个结论的话可以省去很多步骤。除此之外，这对于其他三角函数也适用，即如果用 ax 替换 x ，当求导的时候，在最前面会有一个系数 a 。例如 \tan(x) 关于 x 的导数是 \sec ^{2}(x) ，所以 \tan(2x) 的导数是 2 \sec ^{2}(2x) ； \csc (x) 的导数是 -\csc (x) \cot (x) ，所以 \csc (19x) 的导数是 -19\csc (19x) \cot (19x) 。