概率论中常见分布的数学期望、方差及其特征函数推导——连续性随机变量
1.正态分布
X\thicksim N（\mu,\sigma）\\ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}, -\infty \leq x +\leq +\infty
2.均匀分布
X\thicksim U(a,b)\\ f(x)=\frac{1}{b-a},a \leq x \leq b
3.指数分布
X\thicksim Exp(\lambda)\\ f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\geq0
4.伽马分布
X\thicksim Ga(\alpha,\lambda) \\f(x)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x \geq 0
其中， \Gamma (\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx \\ \Gamma (\alpha+1)=\alpha \Gamma (\alpha)
下面利用随机变量的独立和求伽马分布的特征函数：
当 \alpha =n 时， X=X_1+X_2+...+X_n，X_i i.i.d(独立同分布) ， X_i\thicksim Exp(\lambda)
已知 \varphi_{X_i}(t)=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-1} ,由特征函数的性质知：
\varphi_X(t)=[\varphi_{X_i}(t)]^n=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-n}
进一步，当 \alpha 为任意正实数时, Ga(\alpha,\lambda) 的特征函数为：
\varphi(t)=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-\alpha}
5.贝塔分布
X\thicksim Be(a,b)
f(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}=\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0\leq x \leq1
其中 B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
B(a,b)=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
（贝塔分布的特征函数推导复杂，也不常用，从略）
6.卡方分布
X\thicksim \chi^2(n)
卡方分布是伽玛函数的特例， \chi^2(n)=Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2}),
由伽玛函数的数学期望与方差可得：
EX=n
Var(X)=2n
\varphi(t)=(1-\frac{it}{\frac{1}{2}})^{-\frac{n}{2}}=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}
7.柯西分布
柯西分布的数学期望与方差不存在。特征函数存在。
参考文献：茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004，3.
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