复变函数-复数的球面表示
过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为 N （过原点的直径交球面于 N ）。对任意在复平面的一点 z ，连该点与北极点交球面于 ζ 。
显然 z 点与 ζ 点一一对应。 ζ 点即为复数的球面表示—— Riemann 球面。
复平面上模为无穷大的点是一个点，对应于复数球面的北极点。
以复平面原点 O 为原点，给 Riemann 球面建立 Descartes 坐标系，球面方程为x'^2+y'^2+z'^2=1 .
北极点即为 (0,0,1) .
不难推出复平面上的点 z=(x,y) 与 复球面上的点 Z=(x',y',z') 之间的关系：
x'=\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\ y'=\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\ z'=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}
【变形一下，还可以得出 x'=\dfrac{z+z^*}{|z|^2+1},\ y'=\dfrac{z-z^*}{|z|^2+1},\ z'=\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1} 】
【反过来推导： z=\dfrac{x'+iy'}{1-z'} 】
引入复球面可以帮助形象地理解 扩充复平面 \overline{\mathbb C}=\mathbb C\cup\left\{\infty\right\} 。因为无穷远点在复积分中常常被看做一个点，在复球面中也以北极点一个点来表示。
关于无穷远点 ∞ 还可以继续作出一些运算的规定：
1. 当 α\ne \infty 时，α\pm\infty =\infty \pm α=\infty ， \dfrac{α}{\infty}=0,\quad \dfrac{\infty}{α}=\infty .
2. 当 α\ne 0 时， α\cdot\infty =\infty\cdot α=\infty .
3. \infty^{-1}=0 .
4. 运算 \infty\pm\infty,~0\cdot\infty,~\dfrac{\infty}{\infty} 无意义。
5. \infty 的实部、虚部、辐角无意义，模长极大。
在扩充复平面上， \infty 为内点；无穷远点的邻域 N(\infty) 可以看做以原点为心的某圆周的外部。从而，一个圆周的外部就是一个单连通区域， \infty 是这个区域的内点。
对于一个无界序列，如果在有限远处无聚点，那么 \infty 就是它的唯一聚点。
包含无穷远点的扩充复平面将在之后的复变积分中广泛用到。
文章被以下专栏收录
