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第十七章 勾股定理测试题（一）
（本试卷满分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图1，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64

图1 图2
2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10 C.，，1 D. 4，5，6
3. 历史上对勾股定理的一种证法采用了图2所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A. S△EDA=S△CEB B. S△EDA+S△CEB=S△CDE
C. S四边形CDAE=S四边形CDEB D. S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
4. 图3所示的各直角三角形中，边长x的值为5的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

图3
5. 国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图4，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
A. 4000米 B. 5000米 C. 6000米 D. 7000米

图4 图5 图6 图7
6．如图5，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　）
A. 20 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 无法确定
7. 如图6，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
8. 若直角三角形的两边长分别为3和4，则以第三边长为直径的圆的面积为（ ）
A. π B. π C. 7π或25π D. π或π
9. 如图7，在4×5的方格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10．如图8，在△ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是（　　）
A．30 B．36 C．72 D．125
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是___________________________________________.
　 12．如图9，已知△OAB，以OB为边作△OBC，再以OC为边作△OCD.若∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2的值等于_____________.

图9 图10 图11 图12
13. 探索勾股数的规律，观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，可以发现：4=，12=，24=，…，请写出第5个数组：　 　．
14. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．图10是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的 “路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了　 　米的草坪，只为少走　 　米的路．
15. 如图11，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为________.
16. 如图12，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为______.
三、解答题（共52分）
17.（5分）如图13，已知AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm．求BC的长．

图13 图14 图15 图16
18. （5分）如图14，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD的面积．
19. （6分）如图15，在△ABC中，已知∠B=30°，∠C=45°，AC=2.
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积．
20.（8分）图16是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
21.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图18摆放时，可以用“面积法”来推导说明a2+b2=c2．请你写出推导过程．

图17 图18 ① ②
图19
22.（9分）如图19，沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=50 km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
23.（11分）（1）如图20-①，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图20-②，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3 cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
附加题（20分，不计入总分）
24. 在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c. 若∠C为直角，则由勾股定理得a2＋b2＝c2.
（1）若∠C为锐角，试说明：a2＋b2＞c2；
（2）若∠C为钝角，试判断a2＋b2与c2的关系，并进行验证.
（山东 于华虎 ）

















第十七章 勾股定理测试题（一）参考答案
一、1. B 2. B 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. D 9. D 10. B
二、11. 对应角相等的两个三角形是全等三角形
12. 7 13. 11，60，61 14. 50 20 15. 75 16. 5
三、17. 解：因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，BD=CD．
因为在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，所以BD2=AB2－AD2＝132－122＝25，所以BD=5.
所以BC=10 cm．
18. 解：因为∠A为直角，AD=12，AB=16，所以BD2=AD2+AB2=400，所以BD=20.
因为BD2+CD2=202+152=625=BC2，所以△BDC是直角三角形，且∠CDB为直角.
所以S△ABD=×16×12=96，S△BDC=×20×15=150.
所以四边形ABCD的面积为96+150=246．
19. 解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，如图所示.
因为AD⊥BC，所以∠ADC=∠ADB=90°.
因为∠C=45°，所以∠DAC=90°-∠C=45°.所以∠C=∠DAC.所以AD=CD.
因为AC2=AD2+CD2，AC=，所以AD=CD=2.因为∠ADB=90°，∠B=30°，所以AB=2AD=4.
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD==2，所以BC=BD+CD=2+2.
所以S△ABC=BC·AD=2+2.
20. 解：设AD=x m，则由题意得AB=（x-0.5）m，AE=（x-1）m.
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（x-1）2+1.52=（x-0.5）2，解得x=3．
答：秋千支柱AD的高为3 m.
21. 解：因为S五边形ABCDE=S梯形AEDF+S梯形BCDF=S正方形DEPC +2S△AEP，即（b+a+b）?b+（a+a+b）?a=c2+2×ab，整理得a2+b2=c2．
22. 解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD2=AB2-AD2=1302-502=14 400，所以BD=120 km.
120÷15=8（h）.
所以台风中心经过8 h从B点移到D点.
如图1，因为距台风中心30 km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，所以人们
要在台风中心到达E点之前撤离.
BE=BD-DE=120﹣30=90（km），=6（h）.
所以游人在接到台风警报后的6 h内撤离才可脱离危险．
23. 解：（1）如图2，由题意知能放入木棒的最大长度为DF的长.
由题意得DB2= AB2+AD2=42+32=25， DF2= DB2+FB2=25+122=169，所以DF=13.
答：该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm．








（2）将容器侧面展开，如图3所示，作点A关于EF的对称点A′，则A′B的长度即为蚂蚁爬行的最短路径．
由题意A′D=5 cm，BD=12﹣3+AE=12（cm）.
由勾股定理，得A′B2= A′D2 +BD2=169，所以A′B=13 cm．
所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13 cm.
24. 解：（1）如图4，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC－CD＝a－CD.
在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2；在Rt△ACD中，AC2－CD2＝AD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a－CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2＋2a?CD. 因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＞c2.

（2）a2＋b2＜c2.验证如下：如图5，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则BD＝BC＋CD＝a＋CD.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2；在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a＋CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2－2a?CD.
因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＜c2.






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